Système - D'après bac S, 2015, Amérique du Nord

Énoncé
On considère la matrice  \(M=\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&-1&1\\4&2&1 \end{pmatrix}\)

Partie A

1. Calculer les matrices  \(M^2\)  et  \(M^3\) .

2. Vérifier que  \(M^3=M^2+8M+6I_3\) .

3. En déduire que  \(M\)  est inversible et que  \(M^{-1}=\dfrac{1}{6}(M^2-M-8I_3)\) .

Partie B

On cherche à déterminer trois nombres entiers tels que la parabole d'équation  \(y=ax²+bx+c\)  passe par les points  \(A(1;1), B(-1; -1)\)  et  \(C(2; 5)\) .

1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers  \(a, b\)  et  \(c\)  tels que  \(M\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\5 \end{pmatrix}\) .

2. Calculer les nombres  \(a, b\)  et  \(c\) et vérifier que ces nombres sont des entiers.